Hmmm.... Ich versteh gar nicht, warum die Ableitungen bei Dir alle so kompliziert werden. Oder mach ich 'nen Denkfehler ?
Also....
f(x) = 2x² + e^(-[1/2]x)
ist erst mal 'ne simple Summe, die Ableitung also die Summe der einzelnen Ableitungen.
f'(x) = {2x²}' + {e^(-[1/2]x)}'
Die Ableitung von 2x² ist wohl ganz offensichtlich 4x; für die von e^(-[1/2]x) brauchen wir die Kettenregel, die da besagt
[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
f ist in unserem Fall die e-Funktion, also e^x, die als Ableitung immer wieder sich selbst hat, während
g(x) = [-1/2]x
also
g'(x) = -1/2
Damit leitet sich dieser zweite Summand insgesamt wie folgt ab:
{e^([-1/2]x)} = e^([-1/2]x) * (-1/2)
Eine e-Funktion bleibt also beim Ableiten auf jeden Fall erhalten, und das samt dem ursprünglichen Exponenten.
Unsere gesamte Ableitung ist nun also:
f'(x) = 4x - 1/2 * e^([-1/2]x)
2. Ableitung:
4x leitet sich zu 4 ab, bleibt noch -1/2 * e^([-1/2]x), bestehend aus dem konstanten Faktor -1/2 und der gleichen e-Funktion wie zuvor, die also auch wieder genauso abgeleitet wird, also
{-1/2 * e^([-1/2]x}' = -1/2 * [-1/2 * e^([-1/2]x)]
Multiplizieren wir die konstanten Vorfaktoren zusammen, ergibt sich als gesamte zweite Ableitung:
f''(x) = 4 + 1/4 * e^([-1/2]x)
In der 3. Ableitung fällt der erste Summand weg, da sich eine Konstante zu 0 ableitet, den zweiten Summanden leiten wir nach dem gleichen Schema wie eben hab, multiplizieren also letztendlich den konstanten Faktor wieder mit -1/2, so daß
f'''(x') = -1/8 * e^([-1/2]x)
War das soweit verständlich, zu kryptisch, oder hab ich gar irgendwelche eklatanten Fehler drin, die jeder sieht außer mir selbst ?