So, mal zu Broilis Aufgaben.... Eigentlich einfach zu lösen, aber das alles zu tippen, ist irgendwie 'ne Qual.... :rolleyes
Also.... Die Kettenregel heißt ja
[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x) -- in Worten: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion
Die Produktregel:
[u(x) * v(x)]' = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
Im vorliegenden Fall steckt beides drin: Zuerst haben wir das Produkt (t-x) * e^tx. Hier ist u(x) = t-x und v(x) = e^tx. Um nun v(x) abzuleiten, brauchen wir noch die Kettenregel: f(z) = e^z, z = g(x) = tx.
Werfen wir jetzt alles zusammen, ist also ft(x) = (t-x)*e^tx = u(x) * f(g(x))
Leiten wir es ab:
ft'(x) = [u(x) * f(g(x))]' = u'(x) * f(g(x)) + u(x) * f'(g(x)) * g'(x) --{1}
Sieht komplizert aus, aber man muß sich halt nur mal genau ansehen, was da woher kommt.
Jetzt setzen wir in unseren letzten Term {1} die Funktionen u(x), f(z) und g(x) ein:
ft'(x) = (t-x)' * e^tx + (t-x) * (e^tx)' * (tx)' --{2}
Wenn man {1} und {2} mal übereinanderlegt, sieht man genau, was da passiert. Achtung: In (e^tx)' wird tx nicht als Funktion betrachtet, weil es schon das g(x) aus dem Ableitungsterm f'(g(x)) * g'(x) ist !
Jetzt müssen wir eigentlich nur noch ableiten:
(t-x)' = -1
(e^tx)' = e^tx -- wie grade gesagt, hier nur die äußere Funktion e^z mit z=tx ableiten
(tx)' = t
Schließlich setzen wir alles wieder zusammen....
ft'(x) = -1*e^tx + (t-x) * e^tx * t
....und gucken, was wir zusammenfassen und vereinfachen können.... (t-x)*t aus dem zweiten Summanden etwa, und danach läßt sich dann e^tx ausklammern, was uns zu folgendem Endergebnis bringt:
ft'(x) = (t²-tx-1) * e^tx
Zur zweiten:
1*e^(1-x) + x*e^(1-x) * (-1) = 1*e^(1-x) - x*e^(1-x) -- die -1 in das x reinmultiplizieren
Und dann kannst Du wieder e^(1-x) ausklammern, womit Du halt auf (1-x)*e^(1-x) kommst.
Ich bin da jetzt ziemlich durchgestürmt und hab mitunter 'n paar Schritte auf einmal gemacht, aber ich hoffe, es ist halbwegs nachvollziehbar.... :rolleyes Und natürlich hoffe ich, nicht allzuviele Fehler reingetippt zu haben.... :misstrau